Modéliser avec le numérique
Publié le 24/10/2024 | Modifié le 25/10/2024
Plusieurs éléments nous ont incité à porter notre regard sur la place de la modélisation dans l’activité mathématique en classe. Parmi eux, on pourra citer le recours à des tâches complexes, le fait que la modélisation est l’une des 6 compétences structurant l’activité mathématique du cycle 2 aux CPGE incluses et le fait que depuis de nombreuses années, une épreuve de modélisation figure au concours de l’Agrégation externe. Enfin, plusieurs groupes IREM se sont emparés du sujet et développent des situations favorisant la démarche de modélisation.
Pour autant, on observe peu d’évolutions dans les pratiques de classe et la place de la modélisation reste trop souvent circonscrite à la mobilisation d’un outil mathématique fourni aux élèves. Le développement des outils numériques, tableur et logiciel de géométrie dynamique en tête, a pu favoriser les changements de cadre (mobilisation d’un outil de type fonction ou algébrique par exemple), mais dans des cas trop souvent explicités pour favoriser une démarche plus largement prise à son compte par les élèves.
Le point de départ du travail du groupe d’enseignants de collège et de lycée réunis autour de cette question a été d’interroger les manuels et d’y articuler les pratiques de classe. Très rapidement, la question de l’articulation entre la compétence représenter et la compétence modéliser est apparue et a pu être formulée en tant que changement de cadre ou changement de registre dans le cas des modélisations intra-mathématiques.
Enfin, la question de la modélisation interroge les représentations enseignantes au regard de l’activité mathématique, question que nous n’avons pas abordée
- Construire une progressivité dans l’apprentissage de la modélisation qui passe par des activités courtes mais signifiantes. Il s’agira alors d’interroger les situations proposées aux élèves, les supports et les orchestrations.
- Repérer les éléments de savoir et les compétences construites lors d’une modélisation afin de rendre efficient le temps didactique passé à cet apprentissage
- Aborder la modélisation auprès des élèves en tant qu’outil. Ce sont les gestes de la modélisation qui doivent être enseignés.
- Identifier un certain nombre de types de tâches permettant aux enseignants de mieux cerner l’activité de modélisation au sein de la pratique des mathématiques.
Dans un premier temps, nous nous sommes appuyés sur le schéma ci-contre qui peut être une première représentation de cette compétence, mais les discussions au sein du groupe ont permis d’aborder la modélisation avec une granularité plus fine.
- La représentation mathématique d’une réalité perçue nécessite d’effectuer des choix. Aussi, si certains éléments de la situation réelle sont spontanément écartés, d’autres le sont de manière d’autant plus implicite que le modèle apparaît de manière progressive dans l’esprit de celui qui traite le problème. Il s’agit alors de prélever les éléments que l’on juge pertinents au regard de l’objectif que l’on s’est fixé. Une part importante de ces choix est effectuée a priori durant la recherche d’un modèle premier. Mais la manipulation technique du modèle peut induire de nouveaux choix pouvant remettre en cause le modèle.
- Le retour des mathématiques vers le réel doit permettre d’interroger les choix précédents et d’enclencher un nouveau processus de modélisation.
- La frontière entre « Monde réel » et « Monde mathématiques » est poreuse. Par exemple, c’est en fonction de l’outil mathématique visé que l’on relit la réalité. La pratique des mathématiques s’appuie sur nos expériences sensorielles de même que notre perception du monde peut être perçu comme étant déjà mathématisée. Ces deux derniers points très discutables et plus philosophiques ne seront pas pris en compte dans ce groupe de travail.
- La distinction entre les compétences « représenter » et « modéliser » est, elle aussi, poreuse puisque l’entrée passe par une représentation d’un objet mathématique. Cependant, on admettra que la compétence « représenter » concerne davantage le changement de registre à l’intérieur même des mathématiques.
Afin d’atteindre ces quatre objectifs il a été dégagé quatre tâches essentielles liées à la modélisation :
T1 : Interroger le modèle au regard de la situation
Il s’agit d’évaluer la modélisation au regard de la situation réelle en étudiant la pertinence ou la cohérence des résultats obtenus, en estimant le domaine de validité de la modélisation … Il est intéressant de comparer deux modèles dans ce cadre.
T2 : Mobiliser un cadre mathématique permettant de modéliser.
Il s’agit à partir d’une situation réelle de s’engager dans la modélisation en choisissant un cadre mathématique au sens de Douady (dialectique outil/objet).
T3 : Expliciter les choix et les renoncements effectués lors d’une modélisation.
Partant du postulat qu’il n’est pas possible de rendre compte de la réalité dans son intégralité par le langage mathématique, la modélisation implique des choix et donc des renoncements parmi l’ensemble des informations issues du réel. Cette tâche consiste à les expliciter afin de mieux identifier la modélisation.
T4 : Interroger la pertinence d’une situation décrite dans un problème mathématique.
De nombreux problèmes mathématiques s’appuient sur des situations concrètes souvent construites de manière plus ou moins transparente en fonction du problème mathématique visé. Il s’agit ici, d’interroger la pertinence de cette démarche.
La plupart des activités ou des séquences proposées mobilisent des outils numériques. Ceux-ci permettent souvent de comparer les effets de différents modèles (T1) ou d’engager les élèves dans une démarche de modélisation en s’affranchissant de difficultés mathématiques. Les ressources produites peuvent être très originales dans le sens où les problèmes traités sont éloignés de ce qui peut être effectué en classe mais aussi très classiques avec une adaptation permettant de travailler la modélisation. La durée de mise en œuvre en classe est, elle aussi, variable selon les ressources. Cela peut être une courte activité ou une séquence regroupant plusieurs activités.
Activité | Tâches | Niveau | Numérique | Domaine mathématique | Description | Durée |
---|---|---|---|---|---|---|
Percolation | T1 | Seconde | Python | Probabilité, Statistiques, Programmation | La percolation pour modéliser la propagation d’un incendie de forêt. | 2 séances |
Propagation d’une population de zombies | T3 | Seconde, Première | Génération de nombres aléatoires à la calculatrice | Probabilités | Simulation de la propagation d’une population de zombies. | 1 séance |
Évolution d’une population de zombies | T2 | Première | Tableur Plateforme de partage | Suites numériques | Modélisation de l’évolution d’une population de zombies avec des suites | 1 séance |
Estimation du volume d’eau | T2 T3 | Troisième Seconde | Non | Géométrie | Choix d’un modèle géométrique | 35 minutes |
La corde | T1 T3 | Cycle 4, Lycée | Tableur Scratch | Géométrie Algorithmique | Les élèves doivent estimer la longueur d’une corde enroulée sur elle-même | 15mn – 30 mn |
Beurre | T1 T2 T3 | Cycle 4 | Non | Volume d’un solide et proportionnalité | Les élèves doivent estimer une masse de beurre. | 30 mn |
Horizon | T2 T3 | Troisième Seconde | Non | Géométrie | Choix d’un modèle géométrique permettant de modéliser la distance à l’horizon à partir d’une photo | 20 mn |
Distances entre trois villes | T1 T4 | Cycle 4 | Logiciel de géométrie dynamique | Géométrie | Minimiser des distances entre trois points | 2 séances |
Ventes de vinyles et épidémie de grippe. | T3 T4 | Première | Tableur Probabilités | Statistiques | Comprendre la modélisation de séries statistiques par une fonction sur des sujets de baccalauréat. | 2 heures |
- Page EDUSCOL : la compétence Modéliser au cycle 4
- Analyse didactique des praxéologies de modélisation mathématique à l’école (Florence Wozniac)
- IREM Paris 7 : Modélisation et interactions entre mathématiques et biologie
- Modélisation mathématique (François Sauvageot)
- Analyse et modélisation au lycée : IREM de Grenoble
- De la modélisation au monde : APMEP
- Au delà du réel : Vidéo de François Sauvageot
- Math tasks
- Passera, passera pas ? (Christiane Rousseau)